FFTを使って音の波形から周波数を求める
ここでは、純音ではない音波からその周波数を求める作業をします。前段階として、「録音した音をグラフにして「見える化」する」を済ませておいてください。
以下、純音ではない音波の例です。これは私が自分のウクレレでC4を弾いた時の音波です。ぐちゃぐちゃした波なので、これは純音ではありません。
図中の赤く示した部分が「波ひとつ分」で、この波が何度も繰り返されています。波ひとつ分の長さ（時間間隔）は5ミリ秒弱なので、ここではざっくり4ミリ秒ということにしましょう。波ひとつで4ミリ秒なので、1秒の時間間隔を取ったらその中に波は250個（1,000/4）収まります。ということは、この音波の周波数は250となります（周波数の定義は、1秒間の間に波が何回震えるか、つまり1秒間に波が何回繰り返されるかです）。「波ひとつで4ミリ秒」というのが「だいたいそのくらいの数」だったので、「周波数が250」というのも「だいたいそのくらいの数」です（C4の正式な周波数は261です）。
フーリエ変換、FFTとは
「だいたいの数」ではなく、正確な数として周波数を求めるにはフーリエ変換（Fourier transform）という数学的手法（mathematical method）を使います。これを使うと、どんな形のぐちゃぐちゃな波でも、その周波数を求めることができます。
ここでは、フーリエ変換の中身は説明できません。これは、高校で習う数学（三角関数、波の重ね合わせ、複素数など）を組み合わせ、そこに大学の内容を付け足してようやく理解できるものなので。そこで、ここではフーリエ変換が「何をしてくれるのか」だけ理解してください。
まずは、以下の図の赤い波を見てください（この図はWikipediaからコピーしました）。この赤い波の周波数を求めることを考えます。フーリエ変換がやるのは、この赤い波を、純音の音波の組み合わせとして表現することです。
どんな波も、単純な（純音の）波の組み合わせ（重ね合わせ）として表現できます。逆にいうと、単純な波を組み合わせれば、どんな複雑な（ぐちゃぐちゃな）波でも作り出すことができます。フーリエ変換は、与えられた波を単純な複数の波に分解してくれます。上の図で、赤い波は青い6つの波に分解されています（逆にいうと、その青い波を重ね合わせると赤い波になります）。以下の図は、この6つの青い波を見やすく（バラバラに）示したものです。
この図では、縦方向の振れ幅（振幅）の順に青い波を並べています。一番手前の青い波の振幅が最も大きく、一番奥の青い波の振幅が最も小さくなっています。そして、個々の波の振幅を棒グラフで表しています。フーリエ変換の結果得られるのは、この青い波の棒グラフです。より正確に言えば、分解された純音の波（青い波）の周波数と振幅が得られます。
分解された波（青い波）の振幅は、元々の波（赤い波）を合成する際の「重要度」（あるいは「貢献度」）だと考えてください。上の図では、青い波を6つ重ね合わせると赤い波を合成できますが、その合成の際に最も重要な役割を果たす（貢献をする）のが、一番手前の青い波です。奥の方へ行くほど重要度（貢献度）は低くなります。つまり青い波の棒グラフは、重要度（貢献度）の度合いを表しています。
この棒グラフのことを「周波数スペクトラム（frequency spectrum）」といいます。横軸が周波数、縦軸が重要度（貢献度）です。ここでは「spectrum」を「スペクトラム」と英語風に読む（カタカナ化する）ことにします。フーリエ変換の生みの親ジョセフ・フーリエはフランス人なので、日本語の数学や物理の教科書では「spectrum」をフランス語風に「スペクトル」とすることがほとんどです。でも、「スペクトル」と言ってもフランス語会話でしか通じないので、ここでは「スペクトラム」ということにします。
まとめると、フーリエ変換がやるのは、
- 入力として音波を受け取り、
- その音波を純音の組み合わせとして表現し、
- その純音の個々の周波数と重要度（貢献度）を周波数スペクトラムとして出力する
ことです。
フーリエ変換をコンピュータで実行するためのアルゴリズム（algorithm）がFast Fourier Transform（FFT）です。「アリゴリズム」と言う言葉が分かりにくければ、フーリエ変換をコンピュータで実行するための「やり方」（作業手順、仕掛け、メカニズム）だと思ってください。
楽器の音をFFTする
それでは、実際にFFTをやってみましょう。サンプルプログラムはsound-fft.pyです。このプログラムは、WAV形式で音がファイルに録音されていて、そのファイル名がtest.wavであることを想定しています。「録音した音をグラフにして「見える化」する」で使ったrecord-sound-samples.pyを動かして、事前に音をtest.wavに録音しておいてください。
sound-fft.pyは、以下のようにWAVファイルから音のサンプルを読み、そのサンプルを関数sanalysis.fft()に渡してFFTを実行しています。
soundSamples = sanalysis.wavToSamples(fileName)
freqSpectrum = sanalysis.fft(soundSamples)
関数sanalysis.fft()はFFTを行い、その結果を周波数スペクトラムとして返します。ここでは、その結果は変数freqSpectrumに格納されています。そして、以下のように関数sanalysis.drawFreqSpectrum()を使って、得られた周波数スペクトラムをグラフ表示します。
sanalysis.drawFreqSpectrum(freqSpectrum=freqSpectrum,
samplingRate=44100)
sanalysis.drawFreqSpectrum()を使うときには、周波数スペクトラムと、元々の録音データのサンプリングレートを渡してください。ここでは、record-sound-samples.pyを使って（CD品質で）録音したとの想定で、サンプリングレートに44,100を指定しています。私のウクレレのC4の音は、以下のような周波スペクトラムになりました。
この図の横軸は周波数、縦軸は重要度（貢献度）です。横軸の周波数の数値は0から始まって、右へ行くほど大きくなっていきます。そして、それぞれの周波数の値に対応する重要度（貢献度）が縦軸の値です。上のグラフでは、0に近い場所の周波数で最大の重要度（貢献度）を記録しています（重要度は0.02を少し超えたあたり）。この周波数をもった純音が、元々のウクレレの音を合成する際に最も重要な役割を果たす（貢献をする）波です。ざっくり言えば、この周波数が、元々のウクレレの音の周波数に近いということです。
そこで、この周波数をグラフの中で眺めるのではなく、数字として得ることにします。このために、関数sanalysis.getHighestPeakFrequency()を使います。この関数を使うときにも、周波数スペクトラムと、元々の録音データのサンプリングレートを渡してください。
highestPeakFreq = sanalysis.getHighestPeakFrequency(
freqSpectrum=freqSpectrum,
samplingRate=44100)
print("Highest peak frequency (Hz): " + str(highestPeakFreq))
この関数は、与えられた周波数スペクトラムの中で最大の重要度（貢献度）をもった周波数を返します。以下のように、ThonnyのShellにその周波数が表示されるはずです。
Highest peak frequency (Hz): 263.00596385405566
先に、「0に近い場所の周波数で最大の重要度（貢献度）を記録」と書きましたが、その周波数が具体的には263であることが分かりました。元々のウクレレの音はC4の音で、C4の周波数は261.626なので、FFTが非常に近い答えを出したことが分かります（1%以下の誤差）。誤差を手で計算するのではなく自動的に（プログラムで）計算するには、以下のようなプログラムを最後に追加してください。
toneFrequency = 261.626
error = abs(toneFrequency - highestPeakFreq)
print("Error (%): " + str(error/toneFrequency * 100))
FFTの結果から「最大の重要度（貢献度）をもった周波数」を求め、それを元々の音の周波数と比べると、必ず誤差（error）があります。この誤差はゼロにはなりません。なぜなら、最大ではないが重要度（貢献度）をある程度もった周波数（重要度が2番目以降の周波数）を無視しているからです。